La topologia differenziale è la topologia che studia varietà differenziali e mappe differenziabili. Con il progresso della topologia algebrica e della geometria differenziale, riemerse negli anni '30. Al fine di studiare il campo vettoriale sulla varietà differenziale, propose anche il concetto di fasci di fibre, in modo che molti problemi geometrici siano legati all'omologia (classe indicativa) e ai problemi di omotopia.
Nel 1953, la teoria della collocazione di Rene Thom creò una situazione in cui la topologia differenziale e la topologia algebrica avanzavano fianco a fianco. Molti difficili problemi di topologia differenziale furono trasformati in problemi di topologia algebrica e risolti, che stimolarono anche la topologia algebrica. Ulteriore sviluppo. Nel 1956, Milno scoprì che oltre alla solita struttura differenziale sulla sfera settedimensionale, c'era anche un'insolita struttura differenziale. Successivamente, le varietà a cui non può essere assegnata alcuna struttura differenziale sono state costruite dall'uomo. Tutti questi mostrano che le tre categorie di varietà topologiche, varietà differenziali e varietà lineari fram pezzo in mezzo hanno un'enorme differenza, la topologia differenziale è stata da allora riconosciuta come un ramo indipendente della topologia. Nel 1960, Smail dimostrò la congettura di Poincaré per varietà differenziali con più di cinque dimensioni. J.W. Milno et al 剜讓擜.
Le aree principali sono la relazione tra le tre categorie di varietà di cui sopra e la classificazione delle varietà tridimensionali e quadridimensionali. I principali risultati nei primi anni '80 includevano la dimostrazione della congettura quadridimensionale di Poincaré e la scoperta dell'insolita struttura differenziale nello spazio euclideo quadridimensionale. Questo tipo di ricerca è generalmente chiamata topologia geometrica per enfatizzare il suo colore geometrico, che è diverso dalla teoria dell'omotopia algebrica.